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By Theodor Bröcker

Broecker T. research 1 (2ed., Spektrum, 1995)(de)(ISBN 3860254189)(1s)_MCet_

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Kapitel II Konvergenz und Stetigkeit Tout va par degr´es dans la nature et rien par saut, et cette r`egle ` a l’´egard des changements est une partie de ma loi de la continuit´e. Leibniz Wir erkl¨aren den Begriff der Konvergenz und des Grenzwertes von Folgen, Reihen und Funktionen und den Begriff der Stetigkeit von Funktionen. Der Begriff der Konvergenz ist der eigentliche Grundbegriff der Analysis. § 1. Folgen und Reihen reeller Zahlen Definition. Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung N → R , n → an .

Sei f : D → R eine Funktion, p ∈ R mindestens eine Folge (xn ) in D , die gegen p konvergiert. Dann sei lim f (x) = a, x→p § 3. Stetige Funktionen 57 falls f¨ ur jede Folge (xn ) in D , die gegen p konvergiert, f (xn ) gegen a geht. N Ist p ∈ D , so bedeutet dies: f (p) = a, und f ist stetig am Punkt p . Jedoch bleibt die Definition sinnvoll f¨ ur p = ±∞ , und man kann erkl¨aren: Ist D nach oben unbeschr¨ankt, so heißt f : D → R stetig bei ∞ , wenn limx→∞ f (x) existiert. Schr¨ankt man f auf die x < p bzw.

Wir bemerken unter der Hand: Wenn (a2n ) und (a2n+1 ) gegen die gleiche Zahl konvergieren, so konvergiert (an ) gegen dieselbe. Anwendung. Die folgenden Reihen sind konvergent (die Angabe des Grenzwertes beweisen wir freilich noch nicht): 1 1 1 + − + − · · · = log 2, 2 3 4 1 1 1 π 1 − + − + −··· = . 3 5 7 4 1− Die bisher betrachteten Kriterien sind oft n¨ utzlich, aber oft auch nicht schl¨ ussig. Es gibt aber eine wichtige allgemeine Charakterisierung konvergenter Folgen, die nicht benutzt, daß man etwa den Grenzwert kennt — das ist ja das Handicap bei der Definition der Konvergenz.

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